这部分根本就没有定义凸函数的概念，事实上凹函数所围区域为凸集（因此其函数图形是凸的）是凹函数的进一步，如果对任何非退化风险行为x∈X，都有xpE[x]，则称该消费者是风险厌恶者风险厌恶者；如果对任何x∈X，都有x~E[x]，则称该消风险厌恶者费者是风险中立者风险中立者。风险中立者U风险淡厌者
对某个人来说，他的效用函数既不是凸函数也不是凹函数.但仅考虑较大的风险，对被保人来说是风险的厌恶者，即理性行为公理。保险业可以存在的原因：对于较大的风险(3)价值函数呈S 型，即在面对利得时是凹函数，体现出风险厌恶的特征，而在面对损失时是凸函数，体现出风险偏好的特征；(4)价值函数在损失部分的曲线要陡于收益部分
以效用函数u=y+x_为例，u''（x）0，效用函数是凹状的；此时y=-x_+u，y''（x）对于风险厌恶型消费者V''（c）无差异曲线与之相反，是凸状的。效用函数通常是用来表效用函数的二阶导数衡量其凹性；除以一阶导数消除了对效用任意缩放的依赖，即绝对风险规避系数不受效用函数单调仿射变换的影响。因此，它依赖于偏好，而不是特定的效用函数来表示偏好
因为按照期望效用理论，风险厌恶者会选择A和C,风险偏好者会选择B和D。具体讨论如下：对于A和B,尽管B的期望较大，但大多数人选择A说明A的期望效用大于B,即1.00 \mathrm{U}(1 \mathrm则风险厌恶型投资者的效用函数为：凹函数，即u( x) 0 ;风险爱好型投资者的效用函数为：凸函数，即u( x) 0 ;风险中性投资者的效用函数为：线性函数，即u ( x)
